Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求证：A₁C₁⊥平面AA₁B₁B；
（2）若P为线段B₁C₁的中点，求四棱锥P-AA₁B₁B的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，得到A₁C₁⊥A₁B₁，根据顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，得到A₁B⊥AC，利用线面垂直的判断定理得到证明；
（2）证明PR⊥平面AA₁B₁B，利用锥体的体积公式，即可求出四棱锥P-AA₁B₁B的体积．

解答： （1）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，
∴A₁C₁⊥A₁B₁，
∵顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，
∴A₁B⊥AC，
∴A₁B⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面ABA₁B₁；
（2）解：∵SAA1B1B=AB×A₁B=2×2=4，
取A₁B₁的中点R，连接PR，则PR∥A₁C₁，PR=

1

2

A₁C₁=1，
∵A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴PR⊥平面AA₁B₁B，
∴点P到平面AA₁B₁B的距离d=1，∴VP-AA1B1B=

1

3

×SAA1B1B×d=

4

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及锥体体积的计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．