Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若BC=4，PB=10，求四棱锥C-ADMP的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）要证BC⊥平面PAC，只需证明BC与平面PAC内的两条相交直线PA、PC垂直，利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；
（2）利用四棱锥C-ADMP的体积=V_P-ABC-V_M-BCD，即可求得结论．

解答： （1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，∴MD⊥AB．
∵M是PB的中点，D是AB的中点，∴MD∥PA，故PA⊥AB．
又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，
∴PA⊥平面ABC．
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．…（8分）
（2）解：∵△AMB为正三角形，∴AB=MB=5．…（9分）
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∵PB=10，M是PB的中点，∴MB=5．
∵△AMB为正三角形，∴AB=MB=5．…8分
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∴S_△BCD=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×3×4=3．…9分
∵MD=

52-( 5 2 )2

=

5 3

2

，
由（1）知MD∥PA，∴MD⊥DC．
在△ABC中，CD=

1

2

AB=

5

2

，
∴S_△MCD=

1

2

×

5 3

2

×

5

2

=

25 3

8

．…10分
∴V_M-BCD=V_B-MCD=

1

3

×3×

5 3

2

=

5 3

2

，
在Rt△PCB中，PC=

PB2-BC2

=

84

，PA=2MD=5

3

故V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×AC×BC×PA=

1

3

×

1

2

×3×4×5

3

=10

3

∴四棱锥C-ADMP的体积=V_P-ABC-V_M-BCD=10

3

-

5 3

2

=

15 3

2

…12分．

点评：本题考查直线与平面垂直的判断与证明，考查四棱锥的体积，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中档题．