Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=a
（Ⅰ）求证：AD⊥B₁D；
（Ⅱ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求三棱锥C-AB₁D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）在正三棱柱中，易证明BB₁⊥平面ABC及AD⊥BD，根据三垂线定理可知：AD⊥B₁D
（Ⅱ）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面AB₁D里面找到一条直线与A₁C平行即可，因为D为BC中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”，连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE，所以DE∥A₁C．
（Ⅲ）利用VC-AB1D=VB1-ADC，即可求三棱锥C-AB₁D的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
∴BD是B₁D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD，
根据三垂线定理得，AD⊥B₁D．
（Ⅱ）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵AA₁=AB∴四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C．（7分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）解：由图知VC-AB1D=VB1-ADC，AA₁=AB=a，
∴VC-AB1D=VB1-ADC=

1

3

S_△ADCBB₁=

3

24

a3．

点评：本题考查空间垂直关系、平行关系的证明，考查三棱锥体积的计算．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．