Question

如图，半径为30cm的

1

4

圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设OB与矩形材料的边OA的夹角为θ，圆柱的体积为Vcm³；
（1）求V关于θ的函数关系式；
（2）求圆柱形罐子体积V的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）求出圆柱底面半径，再求体积，即可求V关于θ的函数关系式；
（2）换元，利用基本不等式，即可求圆柱形罐子体积V的最大值．

解答： 解：（1）在Rt△OAB中，OA=30cosθ，AB=30sinθ
设圆柱底面半径为r，则30cosθ=2πr
即4π²r²=900cos²θ，
∴V=πr²•AB=

6750

π

cos²θsinθ．其中0＜θ＜90°．
（2）令sinθ=t（0＜t＜1），则cos²θsinθ=t（1-t²）
∵t²（1-t²）²=

1

2

×2t²（1-t²）（1-t²）≤

1

2

×(

2

3

)3
当且仅当2t²=1-t²，即t=

3

3

时，圆柱形罐子体积V的最大值

1500 3

π

．

点评：熟练掌握圆柱的体积计算公式、利用基本不等式求最值等是解题的关键．