Question

设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂=-

1

9

，
（Ⅰ）证明：l₁与l₂相交；
（Ⅱ）求l₁与l₂的交点P的轨迹C的方程；
（Ⅲ）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，证明：λ+μ为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）用反证法，假设l₁与l₂不相交，得k12=-

1

9

，此与k₁为实数的事实相矛盾，所以l₁与l₂相交．
（Ⅱ）设交点P（x，y），满足

y-1=k1x y+1=k2x

，由此得到

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

9

，从而能求出交点P的轨迹C的方程．
（Ⅲ）设直线l的方程为y=k（x-1），则M，N两点坐标满足方程组

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，由已知条件推导出λ=

x3

1-x3

，μ=

x4

1-x4

，由此利用韦达定理得λ+μ=-

9

4

．

解答： （Ⅰ）证明：用反证法，假设l₁与l₂不相交，
则l₁与l₂平行，则k₁=k₂，
代入k₁k₂=-

1

9

，得k12=-

1

9

，
此与k₁为实数的事实相矛盾，
∴k₁≠k₂，假设不成立，
∴l₁与l₂相交．
（Ⅱ）设交点P（x，y），满足

y-1=k1x y+1=k2x

，
∴x≠0，

k1= y-1 x k2= y+1 x

，
代入k1k2=-

1

9

，得

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

9

，
整理，得：

x2

9

+y2=1，
∴交点P的轨迹C的方程为

x2

9

+y2=1．
（Ⅲ）依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₃），
则M，N两点坐标满足方程组

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
∴x₃+x₄=

18k2

1+9k2

，①，x3x4=

9k2-9

1+9k2

，②
∵

RM

=λ

MQ

，∴（x₃，y₃）-（0，y₃）=λ[（t，0）-（x₃，y₃）]，
即

x3=λ(1-x3) y3-y3=-λy3

，∴x₃=λ（1-x₃），
∵l与x轴不垂直，∴x₃≠1，∴λ=

x3

1-x3

，
同理μ=

x4

1-x4

，
∴λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

，
将①②代入，得λ+μ=-

9

4

．

点评：本题考查两直线相交的证明，考查两直线的交点的轨迹方程的求法，考查两实数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．