Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•log₂a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，当n＞1时，S_n-1=2a_n-1-1，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此可知{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{a_n•log₂a_n}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2．
当n＞1时，S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a_n=2ⁿ，n∈N^*．
（2）a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，
T_n=1×2+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
则T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，以及错位相减法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．