Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=AD=2BC=2，CD=

3

．
（1）求证：PE∥平面BDM；　
（2）求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）本小题是一个证明线面平行的题，一般借助线面平行的判定定理求解，连接BE，因为BC∥AD，DE=BC，所以四边形BCDE为平行四边形，连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，则根据线面平行的判定定理可知PE∥平面BDM．
（2）由于平面PAD⊥底面ABCD，PE⊥AD，由面面垂直的性质定理可知PE⊥底面ABCD，所以PE是三棱锥P-DBC的高，且PE=

3

，又因为V_P-DMB可看成V_P-DBC和V_M-DBC差构成，由（1）知MO是三棱锥M-DBC的高，由此能求出三棱锥P-MBD的体积．

解答： （1）证明：连接BE，因为BC∥AD，DE=BC，
所以四边形BCDE为平行四边形
连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，
又MO?平面BDM，PE?平面BDM，
所以PE∥平面BDM．
（2）解：V_P-DMB=V_P-DBC-V_M-DBC，
由于平面PAD⊥底面ABCD，PE⊥AD，PE⊥底面ABCD，
所以PE是三棱锥P-DBC的高，且PE=

3

由（1）知MO是三棱锥M-DBC的高，MO=

3

2

，S△BDC=

3

2

，
所以VP-DBC=

1

2

，VM-DBC=

1

4

，则VP-DMB=

1

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．