Question

设函数f（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数g（x）=f（x）-3x的零点个数．
（2）记曲线y=f（x）在其上一点P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）处的切线为l，l与坐标轴所围成的三角形的面积为S．求S的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数g（x）=f（x）-3x的零点个数．
（2）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，以及切线和坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）函数g（x）=f（x）-3x=e^x-3x，
则函数的导数g′（x）=e^x-3，
由g′（x）=e^x-3=0，解得x=ln3，
当x＞ln3时，g′（x）=e^x-3＞0，函数单调递增，
当x＜ln3时，g′（x）=e^x-3＜0，函数单调递减，
即当x=ln3时，函数g（x）取得极小值，无极大值，此时f（ln3）=3-3ln3＜0，
即函数g（x）=f（x）-3x的零点个数为2个．
（2）∵f（x）=e^x，∴f′（x）=e^x，
则点P（x₀，f（x₀））的切线方程为y-ex0=ex0（x-x₀），
令x=0，解得y=ex0（1-x₀），
令y=0，解得x=x₀-1，
∵x₀＜0，∴x=x₀-1＜0，
则l与坐标轴所围成的三角形的面积为S=

1

2

|x₀-1|ex0（1-x₀）=

1

2

ex0（1-x₀）²，
则S′=

1

2

ex0（-1+x₀²），
∴当x₀＜-1时，S′＞0，函数单调递增，
当-1＜x₀＜0时，S′＜0，函数单调递减，
即当x₀=-1时，函数取得极大值也是最大值，
∴此时最大值为

1

2

×

1

e

×4=

2

e

．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的最值和极值，综合性较强，运算量较大．