Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两点，

AF

=3

FB

，A，B在抛物线的准线上的射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为8

3

，则抛物线的方程为（　　）

• A、y²=3

  2

  x
• B、y²=

  3

  2

  x
• C、y²=

  9

  2

  x
• D、y²=

  9

  4

  x

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，设出A，B的坐标，依题意表示出焦点坐标，进而得到直线的方程，与抛物线方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，求得|x₁-x₂|，进而求得|y₁-y₂|，最后利用梯形面积公式建立等式求得p，即可求出抛物线的方程．

解答： 解：不妨点A在第一象限、点B在第四象限，作BC⊥AD，垂足为M，
设|

FB

|=m，|

AF

|=3m，则由抛物线的定义得|AD|=3m，|BC|=m，
∴|

AB

|=4m，|

AM

|=2m，
∴∠BAM=60°，于是直线l的倾斜角为60°，斜率k=

3

，
抛物线方程为y²=2px，设A，B点坐标分别为（x₁，y₁，），（x₂，y₂），
∴焦点F坐标为（

p

2

，0），
∴直线AB的方程为y=

3

（x-

p

2

），
代入抛物线方程得3x²-5px+

3p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

5p

3

，x₁x₂=

p2

4

，
∴|x₁-x₂|=

4p

3

，
∴|y₁-y₂|=

4 3

3

•p
则梯形ABCD的面积为

1

2

•（AD+BC）•CD=

1

2

（x₁+x₂+p）|y₁-y₂|=

1

2

•

8

3

p•

4 3

3

p=8

3

，
∴p=

3 2

2

，
∴y²=3

2

x．
故选：A

点评：本题考查抛物线的概念，突出考查抛物线定义的灵活运用，考查了直线与抛物线的位置关系．注重了数形结合思想和转化和化归的思想的运用．