Question

设函数f（x）=x³-3x²+2
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）-m在区间[-2，4]上有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求；
（2）求得f（x）的极值，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：（1）由f（x）=x³-3x²+2，得f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
当f′（x）＞0时，解得x＜0或x＞2；
当f′（x）＜0时，解得0＜x＜2．
故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2+∞））；
单调递减区间是（0，2）．
（2）由（1）知函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2+∞））；
单调递减区间是（0，2）．
∴函数在[-2，0）上递增，在[0，2]上递减，在[2，4]上递增，
且函数在x=0处取得极大值f（0）=2，在x=2处取得极小值f（2）=-2，
∵f（4）=18，f（-2）=-18，
若函数y=f（x）-m在区间[-2，4]上有三个零点，
等价为f（x）=m有三个不同的根
则有-2＜m＜2，故实数m的取值范围（-2，2）．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点，考查不等式的求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力