Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，⊙M的同心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点作倾斜角为

π

3

的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且|AO|=|OB|=2．
（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的相线l₁、l₂，设l₁与抛物线C相交于点P、Q，l₂与抛物线C相交于点G、H，求

PG

•

HQ

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）准线l交y轴于N（-

P

2

，0），由已知条件推导出p=2，OM=OB=2由此能求出⊙M的方程和抛物线的方程．
（Ⅱ）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为0，设为k，由y²=4x，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由

PG

•

HQ

=（

PF

+

FG

）•（

HF

+

FQ

），利用均值定理得当且仅当k2=

1

k2

时，

PG

•

HQ

取最小值16．

解答： 解：（Ⅰ）准线l交y轴于N（-

P

2

，0），在Rt△OAN中，
∠OAN=

π

3

，∴|ON|=

|OA|

2

=1，∴p=2，
抛物线方程是y²=4x，
在△OMB中，OM=OB，∠MOB=

π

3

，
∴OM=OB=2，
∴⊙M的方程是（x-2）²+y²=4．
（Ⅱ）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为0，设为k，
由y²=4x，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实根，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
∵l₁⊥l₂，∴l₂的斜率为-

1

k

，
设G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），则同理得x₃+x₄=2+4k²，x₃•x₄=1，
∴

PG

•

HQ

=（

PF

+

FG

）•（

HF

+

FQ

）
=

PF

•

HF

+

PF

•

FQ

+

FG

•

HF

+

FG

•

FQ

=|

PF

|•|

FQ

|+|

FG

|•|

HF

|
=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₂x₄+（x₃+x₄）+1
=1+2+

4

k2

+1+1+(2+4k2)+1
=8+4（

1

k2

+k2）≥8+4×2=16．
当且仅当k2=

1

k2

时，即k=±1时，

PG

•

HQ

取最小值16．

点评：本题考查圆的方程和抛物线方程的求法，考查向量的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．