Question

某班联欢晚会玩投球游戏，规则如下：每人最多可连续投5只球，累积有三次投中即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投球：①已获奖；②累积3次没有投中目标．已知某同学每次投中目标的概率是常数p（p＞0.5），且投完3次就中止投掷的概率为

1

3

，设游戏结束时，该同学投出的球数为X．
（1）求p的值；
（2）求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

专题：概率与统计

分析：（1）根据投完3次就中止投掷的概率为

1

3

，列出方程，求出p的值即可；
（2）分别求出X=3，4，5时的概率，然后求出X的分布列，最后用X的值乘以其概率，求和即可求出数学期望的值．

解答： 解：（1）根据题意，可得
P(X=3)=p3+(1-p)3=

1

3

，
解得：p=

2

3

或p=

1

3

（p＞0.5，舍去），
所以p=

2

3

；
（2）X的所有可能值为3，4，5，
P(X=3)=

1

3

，
P(X=4)=

C

2 3

p3(1-p)+

C

2 3

p(1-p)3=

C

2 3

p(1-p)[p2+(1-p)]=

10

27

，
P(X=5)=

C

2 4

p3(1-p)2+

C

2 4

p2(1-p)3=

C

2 4

p2(1-p)2=

8

27

，
所以X的分布列为：

X	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

所以X的数学期望为：
EX=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

点评：本题主要考查了离散型随机变量的概率和期望的求法，独立重复试验等知识的运用，考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识等，属于中档题．