Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

（a＞0）．
（1）实数a为何值时，使得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（2）试比较（

2013

2014

）²⁰¹⁴与

1

e

的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再根据f（x）在（0，+∞）内单调递增，得f′（x）≥0恒成立，即x+1-a≥0恒成立，问题得以解决．
（2）利用分析和综合法，原题转化为ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

与0的大小关系，根据（1）可知f（

1

2013

）＞f（0）=0，问题得以解决．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-

ax

x+1

，
则f′（x）=

x+1-a

(x+1)2

，
∵f（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴x+1-a≥0恒成立，
∴a≤1+x，
∴a≤1，
所以a的取值范围为（0，1]．
（2）要比较（

2013

2014

）²⁰¹⁴与

1

e

的大小．等价于比较(

2014

2013

)2014与e的大小
因函数y=lnx在（0，+∞）上是增函数，等价于比较2014ln

2014

2013

与1的大小
等价于ln

2014

2013

与

1

2014

的大小，即ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

与0的大小
由（1）知f（x）=ln（1+x）-

x

x+1

在（0，+∞）内单调递增，
而

1

2013

＞0，则f（

1

2013

）＞f（0）=0，
令x=

1

2013

得f（

1

2013

）=ln（1+

1

2013

）-

1

2013+1

＞0，
即（

2013

2014

）²⁰¹⁴＜

1

e

．

点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于中档题．