Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA₁=

2

，设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

（1）试用

a

，

b

，

c

表示向量

AC

、

BD1

；
（2）若∠A₁AD=∠A₁AB=120°，求直线AC与BD₁所成的角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量的加法或减法很容易求解．
（2）要求直线AC与BD₁所成的角，我们来求向量

AC

与

BD1

所成的角．设这两个向量夹角为θ，则cosθ=

AC • BD1

| AC || BD1 |

，根据条件分别求出

AC

•

BD1

，|

AC

|，|

BD1

|即可．

解答： 解：（1）

AC

=

a

+

b

，

BD1

=

AD1

-

AB

=

b

+

c

-

a

．
（2）由题意得：

AC

•

BD1

=(

a

+

b

)•(

b

+

c

-

a

)=

a

•

b

+

a

•

c

-

a

2+

b

2+

b

•

c

-

b

•

a

=0-

2

2

-1+1-

2

2

-0=-

2

；
|

AC

|=

2

，

BD1

2=(

b

+

c

-

a

)2=

b

2+

c

2+2

b

•

c

-2

b

•

a

-2

c

•

a

+

a

2=1+2-

2

-0+

2

+1=4，∴|

BD1

|=2；
∴若设向量

AC

与

BD1

所成的角为θ，则cosθ=

AC • BD1

| AC || BD1 |

=-

2

2

，∴θ=135°，∴直线AC与BD₁所成的角为45°．

点评：注意通过求

BD1

2来求|

BD1

|的方法，以及通过求向量夹角来求直线的夹角的方法，利用这种方法时注意直线间夹角的范围．