Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

（1）求证：AC∥平面EFB
（2）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）设AC，BD交于O，取EB中点M，连结FM，MO，由已知条件推导出四边形FAOM是平行四边形，由此能证明直线AC∥平面EFB；
（2）先求出ED，再转换底面求三棱锥C-BEF的体积．

解答： （1）证明：设AC，BD交于O，取EB中点M，连结FM，MO，
在△BDE中，OM∥DE，OM=

1

2

DE，FA∥DE，FA=

1

2

DE，
∴OM∥FA，OM=FA，
∴四边形FAOM是平行四边形，
∴FG∥AO，又AO不包含平面EFB，FG?平面EFB，
∴直线AC∥平面EFB．
（2）解：∵ED⊥平面ABCD，
∴BD是BE在面ABCD的射影
∴∠EBD与平面BCD所成角
∴tan∠EBD=

ED

2 2

，
∴ED=2                           …（7分）
由（1）知AC∥平面BEF，
∴A，C到平面BEF等距   …（8分）
正方形ABCD中AB⊥AD  ①
DE⊥平面ABCD，且FA∥ED，∴FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AB  ②
由①②知AB⊥平面ADEF，∴AB为棱锥B-AEF的高               …（10分）
因此，V_C-BEF=V_A-BEF=V_B-AEF=

1

3

×

1×2

2

×2=

2

3

   …（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥C-BEF的体积，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定是关键．