Question

如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直，若∠BAC=∠CBD=90°，AB=AC，∠BDC=60°，BC=6．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面ACD．
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值．
（Ⅲ）求B到平面ACD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由线面垂直提BD⊥AC，又AC⊥AB，从而AC⊥平面ABD，由此能证明平面ABD⊥平面ACD．
（Ⅱ）取BC中点E，作EF⊥CD于F，连AE，AF，则AE⊥平面BCD，∠AFE为二面角A-CD-B的平面角．由此能求出二面角A-CD-B的余弦值．
（Ⅲ）作BH⊥AD于H，则BH⊥平面，由此能求出B到平面ACD的距离．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由于平面ABC⊥平面BCD，且BD⊥BC，
则BD⊥平面ABC，而AC?平面ABC，则BD⊥AC…①，
又AC⊥AB…②，BD∩AB=B…③，
所以AC⊥平面ABD，
又因为AC?平面ACD，所以平面ABD⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：取BC中点E，作EF⊥CD于F，
连AE，AF，则AE⊥平面BCD，∠AFE为二面角A-CD-B的平面角．
Rt△ABC中，BC=6，则AB=AC=3

2

，AE=3，EC=3，EF=

3

2

，
Rt△EFA中，tan∠AFE=

AE

EF

=2，
∴二面角A-CD-B的正切值为2，
∴二面角A-CD-B的余弦值为

5

5

．
（Ⅲ）作BH⊥AD于H，则BH⊥平面ACD，
Rt△ABD中，
BD=2

3

，AD=

30

，
BH=

AB•BD

AD

=

6 5

5

，
∴B到平面ACD的距离为

6 5

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．