Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是AB，BB₁的中点．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）设AA₁=AC=CB=1，AB=

2

，求三棱锥D一A₁CE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁中点，可得BC₁∥DF，利用线面平行的判定定理，即可证明BC₁∥平面A₁CD；
（2）证明CD⊥平面ABB₁A₁，DE⊥A₁D，转换底面，即可求三棱锥D一A₁CE的体积．

解答： （1）证明：连结AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁中点．
又D是AB中点，连结DF，则BC₁∥DF

∵DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD ∴BC1∥平面A1CD

（2）解：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱∴AA₁⊥CD
∵AC=CB，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∵AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∴AA₁=AC=CB=1，AB=

2

，
∴∠ACB=90°，CD=

2

2

，A₁D=

6

2

，DE=

3

2

，A₁E=

3

2

，
∴A₁D²+DE²=A₁E²，∴DE⊥A₁D，
∴VD-A1CE=VC-A1DE=

1

3

×(

1

2

×

6

2

×

3

2

)×

2

2

=

1

8

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．