Question

在如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=3，四边形ABCD为边长是2的正方形，E是PB的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）求证：PD∥平面EAC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由条件可知：四棱锥P-ABCD是以PA为高，正方形ABCD为底的四棱锥，且PA=3，即可求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明AD⊥平面PAB，即可证明AD⊥PB；
（3）连BD交AC于O点，显然点O为BD的中点，连结EO，证明PD∥平面EAC，只需证明EO∥PD．

解答： （1）解：由条件可知：四棱锥P-ABCD是以PA为高，
正方形ABCD为底的四棱锥，且PA=3，…（1分）
所以四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD=

1

3

SABCD×PA…（2分）
=

1

3

×2×2×3=4．…（4分）
（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AD．
又因为四边形ABCD为正方形，
所以AD⊥AB．…（6分）
又PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，
所以AD⊥平面PAB．…（8分）
又PB?平面PAB，所以AD⊥PB．…（9分）
（3）证明：连BD交AC于O点，显然点O为BD的中点，连结EO．   …（11分）
因为E，O分别为PB，BD的中点，所以EO∥PD．…（13分）
而EO?平面EAC，PD?平面EAC，所以PD∥面EAC．…（14分）

点评：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质及判定，考查了棱锥的体积公式，考查了学生的推理论证能力，综合性强．