Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2BF．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；    
（2）求几何体ABFED的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结B₁D₁，BD，由已知条件推导出A₁C₁⊥DD₁，从而得到A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．由此能证明EF⊥A₁C₁．
（2）求出梯形BDEF的面积，即可求几何体ABFED的体积．

解答： （1）证明：连结B₁D₁，BD，∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF?平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）解：连接AC交BD于点O，由于ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，BB₁∥CC₁，BB₁=CC₁，AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四边形AA₁C₁C为平行四边形，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁
由（1）知，A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，∴AC⊥平面BB₁D₁D，∴AO⊥平面BB₁D₁D，
由AC=

AB2+BC2

=

a2+a2

=

2

a，
∴AO=

1

2

AC=

2

2

a，
在直角梯形BDEF中，直角腰BD=AC=

2

a，上底BF=

1

3

BB₁=

1

3

a，下底DE=

1

2

DD₁=

1

2

a，
因此梯形BDEF的面积SBDEF=

1

2

(BF+DE)•BD=

1

2

×(

a

3

+

a

2

)×

2

a=

5 2

12

a2，
因此几何体ABFED的体积VABFED=

1

3

AO•SBDEF=

1

3

×

2

2

a×

5 2

12

a2=

5

36

a3．

点评：本小题主要考查空间线面关系与几何体体积的计算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．