Question

求下列代数式的值：
（1）已知sin（3π+α）=

1

4

，求

cos(π+α)

cosα•[cos(π+α)-1]

+

cos(α-2π)

cos(α+2π)•cos(α+π)+cos(-α)

（2）已知tanα=2，求

1

4

sin²α+

1

3

sin2α+

1

2

cos²α．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）易求sinα=-

1

4

，利用诱导公式将所求关系式化简为

2

sin2α

，将sinα=-

1

4

代入即可求得其值；
（2）将所求关系式转化为

1 4 tan2α+ 1 3 tanα+ 1 2

tan2α+1

，再将tanα=2代入即可求得答案．

解答： 解：（1）因为sin（3π+α）=

1

4

，
所以sinα=-

1

4

，---------------（2分）
又

cos(π+α)

cosα•[cos(π+α)-1]

+

cos(α-2π)

cos(α+2π)•cos(α+π)+cos(-α)

=

-cosα

cosα•(-cosα-1)

+

cosα

cosα•(-cosα)+cos(-α)

=

1

cosα+1

+

1

-cosα+1

-----------------（4分）
=

2

sin2α

=32-----------------（6分）
（2）因为

1

4

sin²α+

1

3

sin2α+

1

2

cos²α
=

1 4 sin2α+ 1 3 sinαcosα+ 1 2 cos2α

sin2α+cos2α

=

1 4 tan2α+ 1 3 tanα+ 1 2

tan2α+1

．---------------------（10分）
将tanα=2代入，可得

1 4 ×22+ 1 3 ×2+ 1 2

22+1

=

13

30

-------------------（12分）

点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数基本关系的运用，属于中档题．