Question

对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），设f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*），若x_o满足f_n（x₀）=x₀，则x_o称为f（x）的n阶周期点．
（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），则f（x）的2阶周期点的值为

 

；
（2）若f（x）=

2x，x∈[0， 1 2 ] 2-2x，x∈( 1 2 ，1]

，则f（x）的2阶周期点的个数是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若f（x）=2x，则f₂（x）=4x，令f₂（x₀）=x₀，可得f（x）的2阶周期点的值；
（2）根据f（x）=

2x，x∈[0， 1 2 ] 2-2x，x∈( 1 2 ，1]

，分0≤2x≤

1

2

，即0≤x≤

1

4

时，当

1

2

＜2x≤1，即

1

4

＜x≤

1

2

时，

1

2

＜x≤1时，讨论f（x）的2阶周期点的个数，最后综合讨论结果可得答案．

解答： 解：（1）∵f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x，
令f₂（x）=x，
解得：x=0．
（2）当0≤2x≤

1

2

，即0≤x≤

1

4

时，
f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x，
令f₂（x）=x，解得x=0，
当

1

2

＜2x≤1，即

1

4

＜x≤

1

2

时，
f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=2-2（2x）=2-4x，
令f₂（x）=x，解得x=

2

5

，
故0≤x≤

1

2

时，f（x）的2阶周期点有两个，
同理

1

2

＜x≤1时，f（x）的2阶周期点也有两个，
故f（x）的2阶周期点共有4个．
故答案为：0，4

点评：本题考查的知识点是分段函数，其中正确理解f（x）的n阶周期点的定义，是解答的关键．