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(2013•奉贤区二模)动圆C过定点F(
p
2
,0)
,且与直线x=-
p
2
相切,其中p>0.设圆心C的轨迹Γ的程为F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲线Γ上的一定点P(x0,y0)(y0≠0),方向向量
d
=(y0,-p)
的直线l(不过P点)与曲线Γ交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为kPA,kPB,计算kPA+kPB
(3)曲线Γ上的两个定点P0(x0,y0)、Q0(x0y0),分别过点P0,Q0作倾斜角互补的两条直线P0M,Q0N分别与曲线Γ交于M,N两点,求证直线MN的斜率为定值.
分析:(1)利用抛物线的定义即可得出轨迹方程;
(2)由直线l的方向向量可设直线l的方程为y=-
p
y0
x+b
,与抛物线的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程,得到根与系数的关系,利用斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件,即可得出kPA+kPB
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),可得到kMN.设MP0的直线方程为y-y0=k(x-x0)与抛物线联立,得到根与系数的关系,同理由直线Q0N的方程与抛物线的方程联立也得到根与系数的关系,代入kMN即可证明.
解答:解:(1)过点C作直线x=-
p
2
的垂线,垂足为N,
由题意知:|CF|=|CN|,即动点C到定点F与定直线x=-
p
2
的距离相等,
由抛物线的定义知,点C的轨迹为抛物线,
其中F(
p
2
,0)
为焦点,x=-
p
2
为准线,
所以轨迹方程为y2=2px(p>0);       
(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2
不过点P的直线l方程为y=-
p
y0
x+b

y2=2px
y=-
p
y0
x+b
得y2+2y0y-2y0b=0,
则y1+y2=-2y0
kAP+kBP=
y1-y0
x1-x0
+
y2-y0
x2-x0

=
y1-y0
y
2
1
2p
-
y
2
0
2p
+
y2-y0
y
2
2
2p
-
y
2
0
2p

=
2p
y1+y0
+
2p
y2+y0

=
2p(y1+y2+2y0)
(y1+y0)(y2+y0)
=0.
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),
kMN=
y2-y1
x2-x1
=
y2-y1
y
2
2
2p
-
y
2
1
2p
=
2p
y1+y2
(***)                    
设MP0的直线方程为为y-y0=k(x-x0)与曲线y2=2px的交点P0(x0,y0),M(x1,y1).
y2=2px
y-y0=k(x-x0)
y2-
2p
k
y+
2py0
k
-2px0=0
的两根为y0,y1
y0+y1=
2p
k
,∴y1=
2p
k
-y0

同理y0+y2=
2p
-k
,得y2=-
2p
k
-y0

y1+y2=-(y0+y0)
代入(***)计算得kMN=-
2p
y0+y0
.是定值,命题得证
点评:熟练掌握抛物线的定义、直线l的方向向量、直线与抛物线相交问题转化为方程联立消去x得到关于y的一元二次方程及得到根与系数的关系、斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件等是解题的关键.
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