Question

（2012•盐城三模）在平面直角坐标系xOy中，过点A（-2，-1）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B₁、B₂，

FB1

•

FB2

=2b2．
（1）求a、b的值；
（2）过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R．过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P．若AQ•AR=3OP²，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用

FB1

•

FB2

=2b2，可得c²-b²=2b²，根据椭圆过点A（-2，-1），可得

4

a2

+

1

b2

=1，由此可求a、b的值；
（2）设直线l的方程代入椭圆方程，求出Q的横坐标；直线OP的方程代入椭圆方程，求出P的横坐标，利用AQ•AR=3OP²，建立方程，即可求得直线l的方程．

解答：解：（1）由题意，F（-c，0），B₁（0，-b），B₂（0，b），则

FB1

=(c，-b)，

FB2

=(c，b)
∵

FB1

•

FB2

=2b2
∴c²-b²=2b²①
∵椭圆过点A（-2，-1）
∴

4

a2

+

1

b2

=1②
由①②解得a²=8，b²=2
∴a=2

2

，b=

2

；
（2）由题意，设直线l的方程为y+1=k（x+2），代入椭圆方程可得（x+2）[（4k²+1）（x+2）-（8k+4）]=0
∵x+2≠0，∴x+2=

8k+4

4k2+1

，∴x_Q+2=

8k+4

4k2+1

由题意，直线OP的方程为y=kx，代入椭圆方程可得（4k²+1）x²=8
∴xP2=

8

4k2+1

∵AQ•AR=3OP²，
∴|xQ-(-2)|×|0-(-2)|=3xP2
∴|

8k+4

4k2+1

|×2=3×

8

4k2+1

∴k=1或k=-2
当k=1时，直线l的方程为x-y+1=0；当k=-2时，直线l的方程为2x+y+5=0

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．