Question

13．在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=4，CD=BC=4，PA=4，AB⊥BC，PA⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）证明：PC⊥BD；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）转化为利用平面几何知识得出：BD⊥AC，利用直线平的垂直得出；BC⊥平面PAB，PA⊥BC，PA⊥BD，BD⊥面PAC，最后再转换为线线垂直得出PC⊥BD；

（2）建立坐标系求出=（6，2，-4），=（-2，2，0），=（0，4，-4），
设平面PBC的法向量为=（x₁，y₁，z₁），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，求解得出=（3，6），令与=（3，6），夹角为α，直线PD与平面PBC所成角为θ，
利用数量积得出sinθ=|cosα|．

解答 证明：（1）底面ABCD的图形中：AB=AD=4，CD=BC=4，AB⊥BC，
利用平面几何知识得出：BD=4，AC=8，BD⊥AC，

∵AB⊥BC，BC?平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD，
平面PAB⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，
∴PA⊥BC，
∵PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥面ABCD，
又∵BD?面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，PA∩AC=A，
∴BD⊥面PAC，
∵PC?面PAC，
∴PC⊥BD；
（2）建立坐标系如图；A（0，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），B（6，2，0），C（4，4，0），
∴=（6，2，-4），=（-2，2，0），=（0，4，-4），
设平面PBC的法向量为=（x₁，y₁，z₁），
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{6{x}_{1}+2\sqrt{3}{y}_{1}-4{z}_{1}=0}\\{-2{x}_{1}+2\sqrt{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$
求解得出=（3，6），
∵与=（3，6），夹角为α，直线PD与平面PBC所成角为θ
则cosα=$\frac{4\sqrt{3}×\sqrt{3}-4×6}{\sqrt{16+48}×\sqrt{9+3+36}}$=-，
∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值sinθ=|cosα|=

点评 本题考查了空间直线平面的垂直问题，关键是确定直线与直线的垂直，直线与平面的垂直，面面的垂直，求解夹角问题可以转化为向量的运算，再结合法向量求解，属于计算较麻烦的题目，做题仔细认真．