Question

【题目】已知函数f（x）=logax（a＞1）在[a，2a]上的最大值是最小值的2倍．

（1）若函数g（x）=f（3x2-mx+5）在区间[-1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围；

（2）设函数F（x）=f（）（2x），且关于x的方程F（x）=k在[，4]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（-8，-6]；（2）[，8].

【解析】

（1）由题可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由最大值是最小值的2倍可求得a=2，即f（x）=log2x，函数g（x）=f（3x2-m+5）在区间[-1，+∞）上是增函数，故y=3x2-mx+5在[-1，+∞）上是增函数且y=3x2-mx+5＞0在[-1，+∞）上恒成立，可得m范围．（2）由（1）知a=2，故F（x）=xlog2x，对F（x）求导后，分析单调性，求出F（x）值域后可得．

解：由题可知f（x）=logax（a＞1）在（0，+∞）上单调递增，

所以在[a，2a]上，f（a）最小，f（2a）最大，

∴f（2a）=log22a=2f（a）=2log2a=，

∴2a=a2，又因为a＞0，故a=2，即f（x）=log2x.

(1)g（x）=f（3x2-mx+5）在区间[-1，+∞）上是增函数，则y=3x2-mx+5在[-1，+∞）上单调递增且y=3x2-mx+5＞0在[-1，+∞）上恒成立，

，∴，所以m的取值范围是（-8，-6]．

（2）由（1）知，a=2，所以F（x）=×2x==xlog2x，

∴F′（x）===log2x+log2e=log2ex，

令F′（x）=0，得，x=，

当x时，F′（x）＜0，∴F（x）在（）上单调递减，

当x时，F′（x）＞0，∴F（x）在上单调递增，

∴F（x）在x=时取得极小值，又因为为F（x）在[]上唯一的极值，故F（）是F（x）在[]上的最小值，且F（）=，

又因为F（4）=4log24=8，F（）==-，

故F（x）在[]上的最大值为8，综上，F（x）∈[，8]，

方程F（x）=k在[，4]上有解，

故k∈ [，8]．