Question

【题目】数列

满足：或1（k=1,2,…,n－1）．

对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．

（I）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；

①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2

（II）记．若m=3，求S的最小值；

（III）若m=2018，求n的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）②③；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）2026．

【解析】分析：（Ⅰ）分别把所给的三个数列代入题目条件中进行验证后可得出结果．（Ⅱ）当m=3时，设数列An中1，2，3出现频数依次为，由题意．假设，则与已知矛盾，从而，同理可证．假设，则与已知矛盾，所以，由此能证明．（Ⅲ）设1，2，…，2018出现频数依次为，可得，则．取，，得到的数列为：

，由此能出n的最小值．

详解：（I）数列满足：或1（k=1,2,…,n－1）．对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．

∴在①中，1，1，1，2，2，2，不符合题目条件；

在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合题目条件；

在③中,1,1,1,1,1,2,2,2,2,符合题目条件．

故所有符合题目条件的数列的序号为②③．

（II）当m=3时，设数列中1,2,3，出现频数依次为，由题意．

①假设，则有（对任意），

与已知矛盾，所以．

同理可证：．

②假设，则存在唯一的，使得．

则对，有（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，

所以．

综上，，，

所以，

故S的最小值为20.

（III）设1，2，…，2018出现频数依次为．

同（II）的证明，可得，

所以．

取，，得到的数列为：

下面证明满足题目要求．

对，不妨令，

①如果或，由于，所以符合条件；

②如果或，

由于，，

所以也成立；

③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且i，j，s，t两两不相等；

④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．

综上对任意i，j，总存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．

因此满足题目要求，

所以n的最小值为2026．