Question

已知下表为函数f（x）=ax³+cx+d部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01．

x	-0.61	-0.59	-0.56	-0.35	0	0.26	0.42	1.57	3.27
y	0.07	0.02	-0.03	-0.22	0	0.21	0.20	-10.04	-101.63

根据表中数据，研究该函数的一些性质：
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零点，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件确定d=0，然后根据函数奇偶性的定义判断f（x）的奇偶性；
（2）根据根的存在性定理进行判断即可．

解答：（1）由表可知f（0）=0，
∴d=0．
故f（x）=ax³+cx，是奇函数，理由如下
∵f（-x）=a（-x）³+c（-x）=-（ax³+cx）=-f（x）
∴由奇函数定义知，f（x）是奇函数．
（2）∵f（x）是奇函数，
∴f（0.56）=-f（-0.56）=0.03＞0f（0.59）=-f（-0.59）=-0.02＜0，
由零点存在定理知f（x）在[0.56，0.59]内存在零点，
∴f（x）在[0.55，0.6]内存在零点．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及根的存在性定理的应用，要求熟练掌握相应的定义和定理．