Question

8．设函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos（x+π）cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象按$\overrightarrow{b}$=（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）平移后得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和与差三角函数化简函数的表达式，然后求解f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用函数的图象的平移变换求出新函数的解析式，然后求解相位的范围，利用正弦函数的有界性求解函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos（x+π）cosx
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以函数f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象按$\overrightarrow{b}$=（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）平移后得到函数y=g（x）的图象，
可得$g（x）=f（x-\frac{π}{4}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$．
由$x∈[0，\frac{π}{4}]⇒2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，g（x）为增函数，
所以g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的最大值为$g（\frac{π}{4}）=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．