Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设.

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程及的值；

（2）若，求椭圆的离心率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）把的坐标代入方程得到，结合解出后可得标准方程.求出直线的方程，联立椭圆方程和直线方程后可求的坐标，故可得的值.

（2）因，故可用表示的坐标，利用它在椭圆上可得与的关系，化简后可得与离心率的关系，由的范围可得的范围.

（1）因为垂直于轴，且点的坐标为，

所以，，

解得，，所以椭圆的方程为.

所以，直线的方程为，

将代入椭圆的方程，解得，

所以.

（2）因为轴，不妨设在轴上方，，.设，因为在椭圆上，所以，解得，即.

（方法一）因为，由得，，，解得，，所以.

因为点在椭圆上，所以，即，所以，从而.

因为，所以.

解得，

所以椭圆的离心率的取值范围.