Question

3．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥a}\end{array}\right.$，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a的值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． 7
• D． 不存在

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最优解，建立方程关系，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线的截距最小，
此时z最小，
当直线y=-2x+z经过点B时，直线的截距最大，
此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，即C（a，2a），此时z_min=2a+2a=4a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），此时z_max=2+2=4，
∵z=2x+y的最大值是其最小值的3倍，
∴3×4a=4，即a=$\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合结合目标函数的几何意义求出最优解是解决本题的关键．