Question

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．
（1）若a=4，b=5，求cosC的值；
（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．

Answer 1

分析 （1）求出c，根据余弦定理求出C的余弦值即可；
（2）根据倍角公式以及三角形的面积公式得到关于a，b的方程组，解出即可．

解答 解：（1）由题意可知c=16-（a+b）=7…（2分）
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{4^2}+{5^2}-{7^2}}}{2×4×5}=-\frac{1}{5}$…（6分）
（2）由$sinA{cos^2}\frac{B}{2}+sinB{cos^2}\frac{A}{2}=2sinC$，
可得$sinA•\frac{1+cosB}{2}+sinB•\frac{1+cosA}{2}=2sinC$，
化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinB•cosA=4sinC
即sinA+sinB+sin（A+B）=4sinC，
sinA+sinB=3sinC即a+b=3c…（8分）
又a+b+c=16∴a+b=12，
由于$S=\frac{1}{2}absinC=18sinC$…（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}ab=36\\ a+b=12\end{array}\right.$，即a=b=6…（12分）

点评 本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角恒等变换，是一道中档题．