Question

12．若f（x）=-x²+2ax与g（x）=$\frac{a}{x+1}$在区间（1，+∞）上都是减函数，则a的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（0，1]
• C． （0，1）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 若f（x）=-x²+2ax与g（x）=$\frac{a}{x+1}$在区间（1，+∞）上都是减函数，则$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ a＞0\end{array}\right.$，解得a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=-x²+2ax的图象是开口朝下，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
故函数的单调递减区间为[a，+∞），
g（x）=$\frac{a}{x+1}$在a＞0时的单调递减区间为（-∞，-1），（-1，+∞），
又∵f（x）=-x²+2ax与g（x）=$\frac{a}{x+1}$在区间（1，+∞）上都是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ a＞0\end{array}\right.$，
解得a∈（0，1]，
故选：D

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，反比例函数的性质，难度中档．