Question

【题目】已知函数f（x）x2+ax+lnx（a∈R）

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2且|x1﹣x2|，求|f（x1）﹣f（x2）|的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）求导可得，再分，讨论与0的大小关系，进而得出单调性情况；

（2）表示出，构造函数，利用导数求其最大值即可.

（1），设μ（x）＝x2+ax+1，则μ（0）＝1＞0，对称轴为，

①当，即a≥0时，在（0，+∞）上，＞0，f（x）是增函数；

②当，即a＜0时，＝a2﹣4＝0得a＝±2，

（i）当﹣2≤a＜0时，在（0，+∞）上，＞0，f（x）是增函数；

（ii）当a＜﹣2时，令＝0得，

在上，＞0，f（x）是增函数；

在上，＜0，f（x）是减函数；

（2）由（1）知，f（x）得两个极值点x1，x2满足x2+ax+1＝0，故x1+x2＝﹣a，x1x2＝1，

不妨设0＜x1＜1＜x2，则f（x）在（x1，x2）上是减函数，

∴，

令，设函数，则，

∴h（t）在（1，+∞）上为增函数，

由，则，解得1＜x2≤2，故，

∴，

∴|f（x1）﹣f（x2）|的最大值为.