Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，平面平面PAD，E是的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且，.

（1）求证：平面平面PAB；

（2）若，，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）从线面垂直的证明入手，证明平面PAB，从而证得平面平面PAB；（2）添加辅助线，找到直线PB与平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解.

（1）如图，取的中点M，连接MD，ME，

则，.

又，，所以，，

所以四边形MDFE是平行四边形，所以.

因为，所以.

因为平面平面PAD，平面平面，，所以平面PAD.

因为平面PAD，所以.

因为，所以平面PAB，

所以平面PAB.

又平面EFG，所以平面平面PAB.

（2）解法—：过点P作于点H，则平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为x轴，过点H且平行于AB的直线为y轴，PH所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

在等腰三角形PAD中，，，因为，所以，解得，则，

所以，，所以.

易知平面ABCD的一个法向量为，

所以，

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

解法二：由（1）可知平面PAD，

因为平面PAD，所以.

在直角三角形PAB中，由勾股定理可得.

过点P作于点H，则平面ABCD，连接HB，则是直线PB与平面ABCD所成的角.

在等腰三角形PAD中，，，

因为，所以，解得，在直角三角形PHB中，.

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.