Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b；等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，其中a，b∈N₊，
且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）若对于任意n∈N₊，总存在m∈N₊，使a_m+3=b_n，求b的值；
（3）在（2）中，记{c_n}是所有{a_n}中满足a_m+3=b_n，m∈N₊的项从小到大依次组成的数列，又记S_n为{c_n}的前n项和，t_n和{a_n}的前n项和，求证：S_n≥T_n（n∈N）．

Answer 1

分析：（1）由a＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N₊，知

a+b＜ab ab＜a+2b

，由此能求出a的值；
（2）由a_m=2+（m-1）b，b_n=5•2^n-1由a_m+3=b_n可得5+（m-1）b=b•2^n-1．b（2^n-1-m+1）=5．由此能求出b的值；
（3）由（2）知a_n=5n-3，b_n=5•2^n-1，a_m=b_n-3=5•2^n-1-3，C_n=5•2^n-1-3，S_n=5（2ⁿ-1）-3n，T_n=

1

2

n（5n-1）．由此能够证明S_n≥T_n（n∈N₊）．

解答：解：（1）∵a＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N₊，
∴

a+b＜ab ab＜a+2b

，∴

a＞ b b-1 a＜ 2b b-1

，
∴

a＞1+ 1 b-1 a＜2+ 2 b-1

，∴

a＞1 a＜4

．
∴a=2或a=3（a=3时不合题意，舍去）．∴a=2．

（2）a_m=2+（m-1）b，b_n=5•2^n-1由a_m+3=b_n可得
5+（m-1）b=b•2^n-1．∴b（2^n-1-m+1）=5．
∴b=5

（3）由（2）知a_n=5n-3，b_n=5•2^n-1，∴a_m=b_n-3=5•2^n-1-3
∴C_n=5•2^n-1-3，S_n=5（2ⁿ-1）-3n，T_n=

1

2

n（5n-1）．
∵S₁=T₁=2，S₂=T₂=9．
当n≥3时，S_n-T_n=5[2ⁿ-

1

2

n²-

1

2

n-1]
=5[（1+1）ⁿ-

1

2

n²-

1

2

n-1]
=5[（1+C_n¹+C_n²+C_n³+…）-

1

2

n²-

1

2

n-1]＞5[1+n+

n(n-1)

2

-

1

2

n²-

1

2

n-1]=0．
∴S_n＞T_n．综上得S_n≥T_n（n∈N₊）．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．