Question

【题目】已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0}，Q={x∈R|（x+1）（x2+3x-4）=0}．

（1）若b=4，存在集合M使得PMQ；

（2）若PQ，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）（，+∞）

【解析】

（1）由于集合Q={-1，1，-4}，当b=4时，集合P=，再由 PMQ可得，M是Q的非空子集，从而得到M．

（2）当P=，△=9-4b＜0时，有．当P≠，方程x2-3x+b=0有实数根，且实数根是-1，1，-4中的数，把x=-1，1，-4代入检验，由此得到实数b的取值范围．

解：（1）∵集合Q={x|（x+1）（x2+3x-4）=0}={x|（x+1）（x+4）（x-1）=0}={-1，1，-4}，

当b=4时，集合P=，再由P MQ可得，M是Q的非空子集．

共有23-1=7 个，分别为{-1}、{1}、{-4}、{-1，1}、{-1，4}、{1，4}、{-1，1，-4}．

（2）∵PQ，对于方程x2-3x+b=0，

当P=，△=9-4b＜0时，有b＞，

△=9-4b≥0时，P≠，方程x2-3x+b=0有实数根，且实数根是-1，1，-4中的数．

若-1是方程x2-3x+b=0的实数根，则有b=-4，此时P={-1，4}，不满足PQ，故舍去．

若1是方程x2-3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={1，2}，不满足PQ，故舍去．

若-4是方程x2-3x+b=0的实数根，则有b=2，此时P={-1，4}，不满足PQ，故舍去．

综上可得，实数b的取值范围为（，+∞）．