Question

（2013•长春一模）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=

2

3

，且S2+

1

2

a2=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=log3

a 2 n

4

，求数列{

1

bn•bn+2

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等比数列的公比为q，根据a1=

2

3

，S2+

1

2

a2=1建立关于q的等式，从而可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，然后根据数列{

1

bn•bn+2

}的通项的特点利用裂项求和法进行求和即可．

解答：解：（1）设等比数列的公比为q，由题意a1=

2

3

，S2+

1

2

a2=1，
所以

2

3

+

2

3

q+

1

2

•

2

3

q=1，即q=

1

3

，
因此an=a1•qn-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．（6分）
（2）bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，
所以

1

bn•bn+2

=

1

2n•2(n+2)

=

1

4

•

1

n(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

8

(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)=

1

8

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

8

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．（12分）

点评：本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧，属于基础题．