Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．
（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．

Answer 1

分析：解法一：（I）取PA的中点N，连接BN、NM，根据三角形中位线定理，结合已知条件可证得四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN，再由线面平行的判定定理得到结论；
（II）延长AB、CD交于一点，设为E，连接PE，由三垂线定理可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角，解△EAD与Rt△PAE即可求出，侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值．
解法二：（I）以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如空间直角坐标系，分别求出直线CM的方向向量与平面PAB的法向量，根据两个向量的数量积为0，可得到CM∥平面PAB；
（II）分别求出侧面PAB与侧面PCD的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据同角三角函数关系得到答案．

解答：解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接BN、NM，在△PAD中，MN∥AD，且MN=

1

2

AD=1；
又BC∥AD，且BC=

1

2

AD=1，所以MN

∥ =

BC，即四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN．
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，故CM∥平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）在平面ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，
连接PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，又由题设可知DA⊥侧面PAB，于是过A作AF⊥PE于F，
连接DF，由三垂线定理可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角．…（8分）
在△EAD中，由BC∥AD，BC=

1

2

AD，知B为AE为中点，∴AE=2，
在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴PE=

5

，AF=

2

5

．故tan∠AFD=

2

2 5

=

5

，
即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为

5

．…（12分）
解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．…（2分）
（Ⅰ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，1），所以

CM

=(-1，0，1)，
又平面PAB的法向量可取为

m

=(0，1，0)，∴

CM

•

m

=0，即

CM

⊥

m

．
又CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为

n

=(x1，y1，z1)．
∵

PC

=(1，1，-1)， 

PD

=(0，2，-1)，∴

PC • n =x1+y1-z1=0 PD • n =2y1-z1=0.

不妨取z₁=2，则y₁=1，x₁=1．∴

n

=(1，1，2)．
又平面PAB的法向量为

m

=(0，1，0)．
设侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角大小为θ，
则由

m

，

n

的方向可知cosθ=

m • n

| m || n |

=

1

6

=

6

6

，
∵θ∈（0，π），∴sinθ=

30

6

，tanθ=

5

．
即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值为

5

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，比较两种解法，我们会发现向量法（解法二）更便于理解和解答，要求大家一定熟练掌握．