Question

13．已知数列{a_n}为等比数列，b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，b₂+b₄=12，b₃+b₅=16．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）求{b_n}的前100项和．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式、对数的运算性质即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，b₂+b₄=12，b₃+b₅=16．
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{2}+lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{4}$=12，$lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{3}+lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{5}$=16，
化为${a}_{2}{a}_{4}=（\frac{1}{2}）^{12}$，${a}_{3}{a}_{5}=（\frac{1}{2}）^{16}$，
∴q²=$（\frac{1}{2}）^{4}$，
∵a_n＞0，∴q＞0．
∴$q=\frac{1}{4}$．
∴${a}_{1}^{2}{q}^{4}$=$（\frac{1}{2}）^{12}$，
∴a₁=$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{4}）^{n-1}=（\frac{1}{2}）^{2n}$，
∴b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2n．
（2）{b_n}的前100项和=2+4+…+200
=$\frac{100×（2+200）}{2}$
=10100．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．