Question

【题目】已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值；

（2）当时，讨论函数的单调性；

（3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递减区间为，，单调递增区间为；（3）

【解析】

（1）由，得出，利用，解得；

（2），，令，解得：或0， 对分类讨论，利用导数研究出函数的单调性；

（3）由于在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，即当时，，设，则，构造函数，通过对分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数的取值范围.

（1）解：由于，，

，

因为函数在点处的切线的斜率为，

所以，

解得：.

（2）解：依题意知，，

令，解得：或0，

当时，令，得或，

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，

当时，令，得，

所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.

（3）解：由于在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

依题意，当时，，

即当时，，

设，

则，

设，

则，

①当时，

当时，，从而，

所以在区间为上单调递增，

又∵，

当时，，从而时，，

所以在区间为上单调递减，

又∵，

从而当时，，

即，

于是当时，；

②当时，令，得，

∴，

当时，，

∴在区间上单调递减，

又∵，

当时，，

从而当时，，

∴在区间上单调递增，

又∵，

从而当时，，

即，不合题意，

综上所述，实数的取值范围为.