Question

6．向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{MN}$在正方形网格中的位置如图所示，若$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$（λ，μ∈R），则$\frac{λ}{μ}$=2．

Answer 1

分析 可在图中作出向量$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$，根据图形便可得出$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}，\overrightarrow{BC}=6\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$，根据$\overrightarrow{MN}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{BC}$进行向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{MN}=（λ+6μ）\overrightarrow{i}+（5λ-4μ）\overrightarrow{j}$，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的二元一次方程组，解出λ，μ，从而便可求出$\frac{λ}{μ}$的值．

解答 解：如图，作向量$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$，则：
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}，\overrightarrow{BC}=6\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$；
∴$\overrightarrow{MN}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{BC}$=$λ（\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}）+μ（6\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}）$=$（λ+6μ）\overrightarrow{i}+（5λ-4μ）\overrightarrow{j}$；
∴根据平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{λ+6μ=4}\\{5λ-4μ=3}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{μ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\frac{λ}{μ}=2$．
故答案为：2．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．