Question

（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分。

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。

若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？

如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：

Answer 1

解：（1）椭圆与相似。-------------------2分

因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为-------------------4分

（2）椭圆的方程为：-------------------6分

设，点，中点为，

则，所以-------------------8分

则                    -------------------9分

因为中点在直线上，所以有，-------------------10分

即直线的方程为：，

由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，

即方程有两个不同的实数解，

所以，即-------------------12分

（3）证明：

①直线与轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以；-------------------14分

②直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，，

线段AB的中点，

-------------------15分

线段AB的中点为-------------------16分

同理可得线段CD的中点为，-------------------17分

即线段AB与CD的中点重合，所以-------------------18分