Question

【题目】如图，四边形ABCD外接于圆，AC是圆周角∠BAD的角平分线，过点C的切线与AD延长线交于点E，AC交BD于点F．

（1）求证：BD∥CE；
（2）若AB是圆的直径，AB=4，DE=1，求AD的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC是圆周角∠BAD的角平分线，∴∠EAC=∠BAC，

又∵CE是圆的切线，∴∠ECD=∠EAC，∴∠ECD=∠BAC，

又∵∠BAC=∠BDC，∴∠ECD=∠BDC，

∴BD∥CE

（2）解：由（1）知∠ECD=∠BAC，∠CED=∠ADB，

∵AB是圆的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，

∴ ，∴ ，

∵∠EAC=∠DBC，由（1）知∠EAC=∠BDC，∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC，

∴ ，则BC2=ABDE=4，∴BC=2

∴在Rt△ABC中， ，∴∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，

∴在Rt△ABD中，∠ABD=30°，

所以

【解析】（1）根据圆的切线性质结合角平分线的性质即可证明BD∥CE；（2）若AB是圆的直径，AB=4，DE=1，根据三角形相似的性质即可求AD的长度．