Question

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=4,将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置,使A₁C⊥CD,如图2.

图1                      图2

(1)求证:A₁C⊥平面BCDE;

(2)过点E作截面平面,分别交CB于F,于H,求截面的面积;

(3)线段BC上是否存在点P,使平面A₁DP与平面A₁BE成的角?说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)要证明线面垂直，则根据线面垂直的判定定理来得到。（2）

(3) 存在线段上存在点,使平面与平面成的角

【解析】

试题分析：解:(1), 平面.

又平面, .

又, 平面         ……4分

(2) )过点E作EF∥CD交BC于F,过点F作FH∥交于H,连结EH.

则截面平面。

因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=

平面, FH∥，平面，

  ……8分

(3)假设线段BC上存在点P,使平面A₁DP与平面A₁BE成的角。

设点坐标为,则.

如图建系,则,,, .

∴, 

设平面法向量为,

则∴ ，∴

设平面法向量为,因为,. 

则∴∴ 

则∴56,

解得

∵ ∴

所以存在线段上存在点,使平面与平面成的角. ……12分

考点：空间中点线面的位置关系的运用

点评：解决的关键是根据面面垂直化的判定定理以及二面角的概念来求解，属于基础题。