Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）过点E作截面EFH∥平面A₁CD，分别交CB于F，A₁B于H，求截面EFH的面积；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60⁰的角？说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明DE⊥平面A₁CD，可得A₁C⊥DE，利用A₁C⊥CD，CD∩DE=D，即可证明A₁C⊥平面BCDE；
（2）过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A₁C交A₁B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A₁CD，从而可求截面EFH的面积；
（3）假设线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60°的角，建立坐标系，利用向量知识，结合向量的夹角公式，即可求出结论．

解答：（1）证明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD．
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE．
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BCDE…（4分）
（2）解：过点E作EF∥CD交BC于F，过点F作FH∥A₁C交A₁B于H，连结EH，则截面EFH∥平面A₁CD．
因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=

1

3

A1C=

3

3

．
∵A₁C⊥平面BCDE，FH∥A₁C，
∴HF⊥平面BCDE，∴HF⊥FE，
∴S△HFE=

3

6

．…（8分）
（3）解：假设线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60°的角．
设P点坐标为（a，0，0），则a∈[0，6]．
如图建系C-xyz，则D（0，1，0），A(0 ，  0 ，  

3

)，B（6，0，0），E（4，1，0）．
∴

A1B

=(6，0，-

3

)，

BE

=(-2 ，1，0)．
设平面A₁BE法向量为

n

=(x ，  y ，  z)，
则

A1B • n =0 BE • n =0

，

6x- 3 z=0 -2x+y=0

∴

z=2 3 x y=2x

，∴

n

=(1，2，2

3

)，
设平面A₁DP法向量为

n1

=(x1 ，  y1 ，  z1)，因为

A1P

=(a，0  -

3

)，

DP

=(a， -1，0)．
则

ax1- 3 z1=0 ax1-y1=0

，∴

z1= 3 3 ax1 y1=ax1

，∴

n1

=(3， 3a， 

3

a)．
则cos＜

n1

，

n

＞=

n1 • n

| n1 |•| n |

=

3a+12

17 • 12a2+9

=

1

2

，∴5656a²-96a-141=0，
解得a=

24± 717

28

∵0＜a＜，6∴a=

24+ 717

28

所以存在线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE成60°的角．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．