Question

（1）画出函数y=-x²+2|x|+3的图象，并指出函数的单调区间．
（2）不等式-x²+2|x|+3＜m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化简函数y的解析式，根据二次函数的图象特征画出函数y的图象．
（2）由题意可得函数y的最大值小于m．结合函数y的图象可得，求得函数y的最大值，从而求得m的范围．

解答：解：（1）y=-x²+2|x|+3=

-x2+2x+3=-(x-1)2+4 ， x≥0 -x2-2x+3=-(x+1)2+4 ， x＜0

，
函数图象如图所示．
函数在（-∞，-1]，[0，1]上是增函数；
函数在[-1，0]，[1，+∞）上是减函数．
所以函数的单调增区间是（-∞，-1]和[0，1]，
单调减区间是[-1，0]和[1，+∞）．
（2）由于不等式-x²+2|x|+3＜m恒成立，故由（1）可得函数y的最大值小于m．
结合函数y的图象可得，当x=±1时，函数y取得最大值为 4，
∴m＞4，即m的取值范围为 （4，+∞）．

点评：本题主要考查函数的图象的作法，函数的恒成立问题，属于中档题．