Question

（2012•静安区一模）已知函数f（x）=-x²+4|x|+5．
（1）画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象；
（2）解关于x的不等式f（x）＜7；
（3）当4-2

2

＜k＜4+2

2

时，证明：f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．

Answer 1

分析：（1）f（x）=-x²+4|x|+5=

-x2+4x+5，x≥0 -x2-4x+5，x＜0

，求出函数的对称轴，顶点坐标，与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，能够画出函数y=f（x）在闭区间[-5，5]上的大致图象．
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：

x≥0 -x2+4x+5＜7

或者

x＜0 -x2-4x+5＜7.

，由此能求出原不等式的解集．
（3）原不等式等价转化为下列不等式组：

x＜0，…1 x2+4x+kx+4k+2＞0；…2

或者

x≥0，…3 x2-4x+kx+4k+2＞0．…4

，由此能够证明f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．

解答：解：（1）f（x）=-x²+4|x|+5=

-x2+4x+5，x≥0 -x2-4x+5，x＜0

，
∵[-5，5]，
∴由-x²+4x+5=0，得x₁=-1（舍），x₂=5；
由-x²-4x+5=0，得x₁=1（舍），x₂=-5．
∴图象与x轴的两个交点（-5，0），（5，0），
y=-x²-4x+5的对称轴是x=-2，最高点是（-2，9），y=-x²+4x+5的对称轴是x=2，最高点是（2，9），
与y轴的交点是（0，5），
∴其图象是如右图
（2）原不等式等价转化为下列不等式组：

x≥0 -x2+4x+5＜7

或者

x＜0 -x2-4x+5＜7.

，
解得不等式的解为0≤x＜2-

2

或x＞2+

2

或-2+

2

＜x＜0或x＜-2-

2

．…（4分）
（或者由x²-4|x|+2＞0，解得0≤|x|＜2-

2

或|x|＞2+

2

）
所以原不等式的解为：(-∞，-2-

2

)∪(-2+

2

，2-

2

)∪(2+

2

，+∞)．…（6分）
（3）证法1：原不等式等价转化为下列不等式组：
（Ⅰ）

x＜0，…1 x2+4x+kx+4k+2＞0；…2

或者（Ⅱ）

x≥0，…3 x2-4x+kx+4k+2＞0．…4

（2分）
（Ⅰ）不等式2中，判别式△1=(k-4)2-8，
因为4-2

2

＜k＜4+2

2

，
所以-2

2

＜k-4＜2

2

，0≤（k-4）²＜8，
即△₁＜0；所以当x＜0时，f（x）＜kx+4k+7恒成立．…（5分）
（Ⅱ）在不等式4中，判别式△2=(k-4)2-16k-8，
因为4-2

2

＜k＜4+2

2

，
所以-2

2

＜k-4＜2

2

，0≤（k-4）²＜8，
又-16×4-32

2

＜-16k＜-16×4+32

2

＜0，
所以△₂＜0．
（或者

△2=k2-24k+8=(k-12)2-136≤[(4-2 2 )-12]2-136 =(8+2 2 )2-136＜112-136＜0

）
所以当x≥0时，f（x）＜kx+4k+7恒成立．
综上讨论，得到：当4-2

2

＜k＜4+2

2

时，
f（x）＜kx+4k+7对x∈R恒成立．…（8分）

点评：本题考查函数图象的画法，考查不等式的解法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．