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设函数h(x)=x|x|+mx+n给出下列四个命题:
①当m=0时,h(x)=0只有一个实数根;
②当n=0时,y=h(x)为偶函数;
③函数y=h(x)图象关于点(0,n)对称;
④当m≠0,n≠0时,方程h(x)=0有两个不等实根.
上述命题中,所有正确命题的个数是(  )
A、0B、1C、2D、3
分析:①可根据h(x)在R上单调性和值域确定h(x)=0只有一个实数根正确;
②当n=0时,h(x)=x|x|+mx,再由函数奇偶性的定义可判断为奇函数;
③分别表示出h(x)与h(-x),然后相加得到h(x)+h(-x)=x|x|+mx+n+(-x|-x|-mx+n)=2n,即可得到函数y=h(x)图象关于点(0,n)对称,从而看判断正误;
④令m>0,n>0,然后画出函数h(x)的图象可判断方程h(x)=0有两个不等实根不正确.
解答:精英家教网解:当m=0时,h(x)=
x2+n,x≥0
-x2+n,x<0
函数h(x)在R上单调递增,且值域为R,
故h(x)=0只有一个实数根正确,即①正确;
当n=0时,函数h(x)=x|x|+mx+n=x|x|+mx,所以h(-x)=-x|-x|-mx=-h(x)
∴函数h(x)为奇函数,②不正确;
∵h(x)=x|x|+mx+n,h(-x)=-x|-x|-mx+n
∴h(x)+h(-x)=x|x|+mx+n+(-x|-x|-mx+n)=2n
∴函数y=h(x)图象关于点(0,n)对称,故③正确;
当m>0,n>0时,h(x)=2+mx+n,x≥0-x2+mx+n,x<0,图象如图
h(x)=0只有1个实根,④不正确.
故选C.
点评:本土主要考查二次函数的图象和性质,考查二次函数的根的个数的判定和对称性.
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设函数f(x)=alnx,g(x)=
12
x2
(1)记h(x)=f(x)-g(x),若a=4,求h(x)的单调递增区间;
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12
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(2)若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”.试问:函数h(x)和φ(x)是否存在“隔离直线”?若存在,求出“隔离直线”方程;若不存在,请说明理由.

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