Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的零点的集合．
（2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为y=sin（2x+

π

3

），可得函数的周期；令2x+

π

3

=kπ，求得x的值，可得函数零点的集合．
（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．

解答： 解：（1）函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

=sin（2x+

π

3

），
故函数的周期为T=

2π

2

=π．
令2x+

π

3

=kπ，求得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，故函数零点的集合为{x|x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z }． 
（2）列表：

2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
f（x）	0	1	0	-1	0

描点连线，如图所示：

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，属于基础题．