Question

已知函数f（x）=x³+x，x∈R
（1）不必证明，直接写出f（x）在R上的单调性；
（2）证明：f（x）是奇函数；
（3）解关于t的不等式f（1-t）+f（2t-3）＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可写出f（x）在R上的单调性；
（2）根据函数奇偶性的定义即可证明：f（x）是奇函数；
（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式f（1-t）+f（2t-3）＞0进行转化即可得到结论．

解答： 解：（1）函数的导数f′（x）=3x²+1＞0，
则函数f（x）单调递增，即f（x）在R上的单调递增；
（2）由f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），则f（x）是奇函数；
（3）不等式f（1-t）+f（2t-3）＞0等价为f（2t-3）＞-f（1-t）=f（t-1），
∵f（x）在R上的单调递增，
∴2t-3＞t-1，
即t＞2．

点评：本题主要考查函数单调性，奇偶性以及不等式的解法，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决不等式的关键．